CONJUNTOS DE NÚMEROS

CONJUNTOS DE NÚMEROS

LAURA STEPHANIE GAMBA URIBE

Profesora: Yoleiva Munar 

COLEGIO PROVINMA

INVESTIGACIÓN

BOGOTÁ D.C

2013

MARCO TEÓRICO

1. DEFINICIÓN DE MATEMÁTICAS: Es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas. Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades,  aunque sólo una parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.

Existe cierta discusión acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o simplemente provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como  “la ciencia que señala las conclusiones necesarias”. Por otro lado, Albert Einstein declaró que  “cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad”.

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.

                                                        

2. DEFINICIÓN DE CONJUNTO NUMÉRICO: Los conjuntos numéricos son colecciones, agrupaciones o grupos de números con características comunes que los definen como una clase, entre los más comunes están los números naturales, los enteros, los racionales, los irracionales y los reales.

Los sistemas numéricos son conjuntos de números con unas operaciones y unas relaciones definidas sobre ellos. Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.

3. DEFINICIÓN DE NÚMEROS REALES: En matemáticas, los números reales  incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero)  como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes  no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales a periódicas.

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como “pequeño”, “límite”, “se acerca” sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas del concepto de número real.  

3.1 DEFINICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES: En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros es decir, una fracción común   con numerador a y denominador  distinto de cero. El término “racional” alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por  Q  que deriva de “cociente”. Este conjunto de números incluye a los números enteros , y es un subconjunto de los números reales .

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10, también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales  es infinita.

3.1.1  Definición de números naturales: Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural. Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural. Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro excepto el cero.  La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.

3.1.2 Definición de números enteros: Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero, los negativos de los números naturales y al cero. Los enteros negativos  como −1 o −3, son menores que todos los enteros positivos  y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo “mas” delante de los positivos. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra Z , que proviene del Alemán Zahlen(números).

Los números enteros no tienen parte decimal.

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas.

3.1.3 Definición de números primos: Es un número natural mayor que uno  que tiene únicamente dos divisores distintos: El mismo y el uno . Los números primos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del uno. El uno, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por  P.

3.2 QUE SON NÚMEROS IRRACIONALES: Son aquéllos que al ser expresados en forma decimal, tienen infinitas cifras, no periódicas.

4. COMO SE CONFORMA UN CONJUNTO DE NÚMEROS: Es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo.

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito. Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros.

4.1 DEFINICIÓN DE ELEMENTO: También llamado miembro de un conjunto  es un objeto atómico que forma parte de ese conjunto.

5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: Son parejas ordenadas en la cual el orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo:

{3, 5} = {5, 3}

Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los cuales uno designa el primer elemento, y segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b). Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

Producto cartesiano

Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.

La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos, se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de  pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto.

5.1 IGUALDAD DE CONJUNTOS: Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B, en la igualdad el orden de los elementos de cada conjunto no importa.

5.2 COMPRENSIÓN DE CONJUNTOS: Se denomina cuando no es nombrado sus elementos si no se define las características de dicho elementos, por ejemplo A= {los colores del arco iris} es un conjunto por comprensión.

5.3 EXTENCION DE CONJUNTOS: Se define cuando se  menciona uno a uno los elementos del conjunto. Por ejemplo
A= {Azul, morado, verde, amarillo,}

5.4 CARDINABILIDAD DE CONJUNTOS: Se representa con el símbolo # y corresponde al número de elementos que tiene el conjunto.

Ejemplos:{El conjunto  está formado por tres elementos}

6. CLASES DE CONJUNTOS: Según el número de elementos que conforman un conjunto, éstos se clasifican en:

·         Vacío

·         Unitario

·         Finito

·         Infinito

6.1 CONJUNTO VACÍO: El conjunto vacío es aquel que no tiene elemento alguno.

Ejemplos:

A = { }

6.2 CONJUNTO UNITARIO: El conjunto unitario es aquel que posee solamente un elemento. Ejemplos:

 El conjunto de números naturales mayores de 8 y menores de 10:

C = { 9 }                                                  

6.3 CONJUNTO FINITO: Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, es decir cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.

6.4 CONJUNTO INFINITO: El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar.